Нарадзіўся 25 ліпеня 1947 года ў Горадні. Яго прадзед і прапрадзед бралі ўдзел у паўстанні Кастуся Каліноўскага 1863 года, былі рэпрэсаваны царскімі ўладамі. Дзед - актывіст беларускага руху 1920-х гадоў на Гарадзеншчыне. Бацька - заслужаны настаўнік БССР.

У 1965 годзе Аляксандр Мілінкевіч скончыў школу з залатым мэдалём, а ў 1969-м - з адзнакай фізіка-матэматычны факультэт Гарадзенскага педінстытута.

Працаваў настаўнікам у Горадні. Пасля сканчэння аспірантуры Інстытута фізыкі АН БССР у 1972 годзе працаваў малодшым навуковым супрацоўнікам. Стажыраваўся ва ўнівэрсытэце Манпелье (Францыя, 1980) і Каліфарнійскім універсітэце (ЗША, 1998), прайшоў курс навучання ў еўрапейскім цэнтры даследавання праблем бяспекі ў Гарміш-Партэнкірхене (ФРГ, 2000). Кандыдат фізіка-матэматычных навук.

У 1980-1984 гадах загадваў кафедрай Сетыфскага ўнівэрсітэта (Алжыр), быў дацэнтам Гарадзенскага ўнівэрсітэта (1978-1980, 1984-1990). Заснавальнік і кіраўнік грамадзкай арганізацыі “Ратуша”.

У 1996-1997 гадах прэзідэнт баскетбольнага клуба “Гродна-93” - шматразовага чэмпіёна Беларусі.

Кіраўнік праграм “Фонду спрыяння лякальнаму развіццю”. Апрача роднай мовы валодае ангельскай, францускай, польскай i расейскай.

Жанаты другім шлюбам, ад першага мае двух сыноў.